Em cada um dos itens abaixo, verifique que a função y_{1} dada é uma solução da equação dada e encontre, a partir de y_{1}, outra solução y_{2} da mesma equação, de forma que o conjunto \{y_{1}(x), y_{2}(x)\} seja linearmente independente. Mostre que o conjunto obtido é linearmente independente: y^{\prime \prime}-\frac{x}{x-1} y^{\prime}+\frac{1}{x-1} y=0, \quad y_{1}=x;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - \frac{x}{x-1}\,y' + \frac{1}{x-1}\,y = 0
e informa uma solução conhecida y_{1}(x)=x. Queremos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(x) de modo que \{y_{1},y_{2}\} seja um conjunto de soluções linearmente independentes.
Passo 2
Verificamos que y_{1}(x)=x satisfaz a equação. Calculamos