Calcule a integral dada fazendo uma mudança para coordenadas polares.
\iint_{D} x d A, em que D é a região no primeiro quadrante que está entre os círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=2 x.

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
\iint_{D} x\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos
x^{2}+y^{2}=4 \quad\text{e}\quad x^{2}+y^{2}=2x.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando
\;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares:
x^{2}+y^{2}=4\quad\Longrightarrow\quad r=2,
x^{2}+y^{2}=2x\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=2r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad r=2\cos\theta\quad(\text{descartamos }r=0).

Passo 3

Como D está no primeiro quadrante, \theta varia de 0 a \pi/2. Para cada \theta\in[0,\pi/2], r vai da curva interna r=2\cos\theta até a externa r=2. Logo
0\le\theta\le\frac{\pi}{2}, \quad 2\cos\theta\le r\le 2.

Passo 4

Montamos a integral em polares:
\iint_{D} x\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=2\cos\theta}^{2} \bigl(r\cos\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\int_{2\cos\theta}^{2} r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
Integramos em r:
\int_{2\cos\theta}^{2}r^{2}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{3}}{3}\Bigr]_{2\cos\theta}^{2} =\frac{8}{3}-\frac{8\cos^{3}\theta}{3} =\frac{8}{3}\bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr).
Assim
\iint_{D}x\,dA =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(1-\cos^{3}\theta\bigr)\cos\theta\,d\theta =\frac{8}{3}\int_{0}^{\pi/2}\bigl(\cos\theta-\cos^{4}\theta\bigr)d\theta.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=1, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos^{4}\theta\,d\theta =\frac{3\pi}{16} \quad(\text{fórmula padrão para potência par}).óãê
Logo
\iint_{D}x\,dA =\frac{8}{3}\Bigl(1-\frac{3\pi}{16}\Bigr) =\frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}.

Resposta

\iint_{D}x\,dA =\frac{8}{3}-\frac{\pi}{2}.

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