Exercícios sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
g(x)\,dy + (y + x)\,dx = 0
e afirma que h(x)=x é um fator integrante. Precisamos encontrar todas as funções g(x) para as quais, ao multiplicar por x, a equação torna-se exata.

Passo 2

Escrevendo no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
temos
M(x,y) = y + x, \quad N(x,y) = g(x).
Multiplicando por h(x)=x, a nova equação é
x\,M\,dx + x\,N\,dy = 0.

Passo 3

A condição de exatidão é
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xM\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xN\bigr).

Passo 4

Calculando cada termo:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(xM\bigr) = x\frac{\partial}{\partial y}(y+x) = x,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xN\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(x\,g(x)\bigr) = g(x) + x\,g'(x).
Igualando, fica
x = g(x) + x\,g'(x).

Passo 5

Reescrevendo como uma equação linear em g:
g'(x) + \frac{1}{x}\,g(x) = 1.
O fator integrante desta é \mu(x)=\exp\!\bigl(\int\!1/x\,dx\bigr)=x. Multiplicando e enxergando a derivada de xg(x), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(x\,g(x)\bigr) = x.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
x\,g(x) = \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto
g(x) = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}.

Resposta

Todas as funções g que fazem de x um fator integrante são
g(x) = \frac{x}{2} + \frac{C}{x},
com C constante real.

Exercícios relacionados