Exercícios sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
A equação
tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
A equação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e afirma que
é um fator integrante. Precisamos encontrar todas as funções
para as quais, ao multiplicar por
, a equação torna-se exata.
Passo 2
Escrevendo no formato
temos
Multiplicando por
, a nova equação é
Passo 3
A condição de exatidão é
Passo 4
Calculando cada termo:
Igualando, fica
Passo 5
Reescrevendo como uma equação linear em
:
O fator integrante desta é
. Multiplicando e enxergando a derivada de
, obtemos
Passo 6
Integrando ambos os lados:
onde
é constante arbitrária. Portanto
Resposta
Todas as funções
que fazem de
um fator integrante são
com
constante real.