Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções
e
são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
Determine
e
de modo que
satisfaça as condições iniciais.
e
. Com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
. As funções fornecidas são
e
. Nosso objetivo é verificar se essas funções são soluções dessa equação e, depois, encontrar os valores de
e
na combinação linear
que atendam às condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e soluções homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
e
são de fato soluções da equação diferencial
. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de cada função e ver se satisfazem a equação.
Para
:
Substituindo na equação:
Então,
é solução.
Para
:
Substituindo na equação:
Então,
também é solução.
Passo 3
Agora que confirmamos que
e
são soluções, vamos montar a solução geral da equação diferencial. Ela é dada por uma combinação linear dessas duas funções:
Nosso próximo passo é aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos primeiro aplicar a condição
. Substituindo
na expressão de
:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda condição,
. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Substituindo
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos somar as duas equações para eliminar
:
Substituindo
na equação (1):
Resposta
Os valores das constantes são
e
. Assim, a solução que satisfaz as condições iniciais é: