Em cada um dos itens abaixo, verifique se as funções y1 e y2 são soluções para a EDO em questão, além disso, considere a solução dada por
phi=c1 y1+c2 y2
Determine c1 e c2 de modo que phi satisfaça as condições iniciais.
y^prime prime-y=0 ; y1=e^x e y2=e^-x. Com y(0)=0 e y^prime(0)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau: y'' - y = 0 . As funções fornecidas são y1 = e^x e y2 = e^-x . Nosso objetivo é verificar se essas funções são soluções dessa equação e, depois, encontrar os valores de c1 e c2 na combinação linear phi = c1 y1 + c2 y2 que atendam às condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 5 . Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e soluções homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se y1 e y2 são de fato soluções da equação diferencial y'' - y = 0 . Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de cada função e ver se satisfazem a equação.
Para y1 = e^x :
y1' = e^x
y1'' = e^x
Substituindo na equação:
y1'' - y1 = e^x - e^x = 0
Então, y1 é solução.
Para y2 = e^-x :
y2' = -e^-x
y2'' = e^-x
Substituindo na equação:
y2'' - y2 = e^-x - e^-x = 0
Então, y2 também é solução.

Passo 3

Agora que confirmamos que y1 e y2 são soluções, vamos montar a solução geral da equação diferencial. Ela é dada por uma combinação linear dessas duas funções:
phi = c1 y1 + c2 y2 = c1 e^x + c2 e^-x
Nosso próximo passo é aplicar as condições iniciais para encontrar c1 e c2 .

Passo 4

Vamos primeiro aplicar a condição y(0) = 0 . Substituindo x = 0 na expressão de phi :
phi(0) = c1 e^0 + c2 e^0 = c1 + c2 = 0
Isso nos dá a primeira equação:
c1 + c2 = 0 (1)

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda condição, y'(0) = 5 . Primeiro, precisamos calcular a derivada de phi :
phi' = ddx(c1 e^x + c2 e^-x) = c1 e^x - c2 e^-x
Substituindo x = 0 :
phi'(0) = c1 e^0 - c2 e^0 = c1 - c2 = 5
Isso nos dá a segunda equação:
c1 - c2 = 5 (2)

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
c1 + c2 = 0 c1 - c2 = 5
Podemos somar as duas equações para eliminar c2 :
(c1 + c2) + (c1 - c2) = 0 + 5 2c1 = 5 c1 = 52
Substituindo c1 na equação (1):
52 + c2 = 0 c2 = -52

Resposta

Os valores das constantes são c1 = dfrac52 e c2 = -dfrac52 . Assim, a solução que satisfaz as condições iniciais é:
phi = dfrac52 e^x - dfrac52 e^-x

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