Encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=11+x^3;

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências (desenvolvimento em série de Taylor em torno de 0) da função
f(x)=11+x^3
e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo aqui é usar a série geométrica
11-r=sumn=0^inftyr^n, |r|<1,
identificando r=-x^3.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=11+x^3=11-(-x^3)
de modo a reconhecer a forma tfrac11-r com
r=-x^3

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica, obtemos
11-(-x^3) =sumn=0^infty(-x^3)^n =sumn=0^infty(-1)^nx^3n

Passo 4

A condição de convergência da série geométrica é |r|<1, isto é
|-x^3|<1Longrightarrow|x|^3<1Longrightarrow|x|<1
Nos extremos x=1 e x=-1 a série não converge, pois em x=1 temos sum(-1)^n divergente e em x=-1 a função original nem está finita. Logo o intervalo de convergência é
(-1,1)

Resposta

11+x^3 =sumn=0^infty(-1)^nx^3n,
com intervalo de convergência (-1,1).

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