Encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo e determine o intervalo de convergência de cada uma.
;
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências (desenvolvimento em série de Taylor em torno de
) da função
e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo aqui é usar a série geométrica
identificando
.
Passo 2
Reescrevemos
de modo a reconhecer a forma
com
Passo 3
Aplicando a fórmula da série geométrica, obtemos
Passo 4
A condição de convergência da série geométrica é
, isto é
Nos extremos
e
a série não converge, pois em
temos
divergente e em
a função original nem está finita. Logo o intervalo de convergência é
Resposta
com intervalo de convergência
.