Verifique se os pares de funções abaixo são L.D. ou L.I.
f(x)=x^3 e g(x)=x^2|x|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se as funções f(x) = x^3 e g(x) = x^2|x| são Linearmente Dependentes (L.D.) ou Linearmente Independentes (L.I.). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente analisa se uma função pode ser escrita como múltiplo da outra ou não. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como aplicar isso para verificar a dependência ou independência das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções dadas. A função g(x) = x^2|x| pode ser simplificada. O valor absoluto de x , |x| , é igual a x quando x é positivo e a -x quando x é negativo. Então, podemos reescrever g(x) da seguinte forma:
  • Para x >= 0 , g(x) = x^2 cdot x = x^3
  • Para x < 0 , g(x) = x^2 cdot (-x) = -x^3

Passo 3

Agora, vamos comparar f(x) e g(x) . Para x >= 0 , g(x) = x^3 = f(x) . Ou seja, nesse intervalo, g(x) é igual a f(x) , o que significa que g(x) é um múltiplo de f(x) com coeficiente 1.

Passo 4

No entanto, para x < 0 , g(x) = -x^3 . Aqui, g(x) é igual a -f(x) , então g(x) é um múltiplo de f(x) com coeficiente -1 nesse intervalo.

Passo 5

Como vimos, g(x) pode ser escrito como c cdot f(x) , onde c é 1 para x >= 0 e -1 para x < 0 . Isso mostra que existe uma relação linear entre f(x) e g(x) em todo o domínio dos números reais, já que uma função é um múltiplo da outra em todos os pontos.

Resposta

As funções f(x) = x^3 e g(x) = x^2|x| são linearmente dependentes (L.D.).

Exercícios relacionados