Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=0^+infty(3 x)^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^+infty(3x)^2n. Isso está dentro do tópico das séries de potências, que estuda para quais valores de x a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a série. Observe que (3x)^2n pode ser reescrito como (3^2 x^2)^n = (9x^2)^n. Então, nossa série fica:
sumn=0^+infty (9x^2)^n
Isso facilita a aplicação do teste, já que agora temos uma forma mais simples de trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = (9x^2)^n. Vamos calcular:
an+1an = (9x^2)^n+1(9x^2)^n = 9x^2
Então,
L = limn to infty |9x^2| = |9x^2|

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|9x^2| < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
9x^2 < 1 x^2 < 19 |x| < 13

Passo 5

O resultado |x| < 13 nos dá o raio de convergência R = 13. O intervalo de convergência é, portanto, todos os x que satisfazem |x| < 13, ou seja:
( -13, 13 )

Resposta

O raio de convergência é R = 13 e o intervalo de convergência é ( -13, 13 ).

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