A divisão de um número inteiro e positivo
pelo inteiro e positivo
dá o quociente
e deixa o resto
. Se aumentarmos o dividendo
em 9 unidades, mantendo o mesmo divisor
, a divisão dá exata e o quociente aumenta de 2 unidades. O menor valor da soma
que satisfaz as condições acima é:
a) 9
b) 11
c) 8
d) 10
e) 13
a) 9
b) 11
c) 8
d) 10
e) 13
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre divisão inteira com resto. Temos que dividir um número inteiro positivo $ A $ por outro inteiro positivo $ B $, resultando em quociente $ Q $ e resto $ R $. A parada é que, se aumentarmos $ A $ em 9 unidades, a divisão fica exata (sem resto) e o quociente aumenta em 2. Nosso objetivo é encontrar o menor valor da soma $ A + B $ que satisfaça essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão inteira. Quando dividimos $ A $ por $ B $, podemos escrever:
onde:
- $ Q $ é o quociente,
- $ R $ é o resto,
- $ 0 \leq R < B $.
Passo 3
Agora, se aumentarmos $ A $ em 9, a nova divisão fica exata. Isso significa que o resto $ R $ passa a ser 0 e o quociente aumenta em 2. Então, podemos escrever:
Passo 4
Vamos substituir a primeira equação na segunda. Sabemos que $ A = B \times Q + R $, então:
Passo 5
Simplificando a equação:
Cancelando $ B \times Q $ de ambos os lados:
Então, isolando $ R $:
Passo 6
Lembre-se que o resto $ R $ deve ser menor que $ B $ e maior ou igual a 0:
Substituindo $ R = 2B - 9 $:
Passo 7
Vamos resolver as duas partes dessa desigualdade.
Primeira parte:
Como $ B $ é inteiro positivo:
Segunda parte:
Então, $ B $ deve ser um inteiro entre 5 e 8.
Passo 8
Vamos testar os valores possíveis de $ B $:
-
Para $ B = 5 $:
-
Para $ B = 6 $:
-
Para $ B = 7 $:
-
Para $ B = 8 $:
Passo 9
Agora, vamos encontrar $ A $ para cada valor de $ B $:
Lembrando que:
E também sabemos que:
Então:
Isso confirma nosso cálculo anterior.
Passo 10
Queremos minimizar $ A + B $. Usando $ A = B \times Q + R $ e $ R = 2B - 9 $:
Para minimizar, vamos assumir $ Q = 1 $ (menor valor possível para $ Q $):
Agora, calculamos para cada $ B $:
-
$ B = 5 $:
-
$ B = 6 $:
-
$ B = 7 $:
-
$ B = 8 $:
Resposta
O menor valor da soma $ A + B $ que satisfaz as condições é 11, ou seja, a opção b) 11.