A divisão de um número inteiro e positivo A pelo inteiro e positivo B dá o quociente Q e deixa o resto R. Se aumentarmos o dividendo A em 9 unidades, mantendo o mesmo divisor B, a divisão dá exata e o quociente aumenta de 2 unidades. O menor valor da soma A+B que satisfaz as condições acima é:
a) 9
b) 11
c) 8
d) 10
e) 13

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre divisão inteira com resto. Temos que dividir um número inteiro positivo $ A $ por outro inteiro positivo $ B $, resultando em quociente $ Q $ e resto $ R $. A parada é que, se aumentarmos $ A $ em 9 unidades, a divisão fica exata (sem resto) e o quociente aumenta em 2. Nosso objetivo é encontrar o menor valor da soma $ A + B $ que satisfaça essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a divisão inteira. Quando dividimos $ A $ por $ B $, podemos escrever:
A
onde:
  • $ Q $ é o quociente,
  • $ R $ é o resto,
  • $ 0 \leq R < B $.

Passo 3

Agora, se aumentarmos $ A $ em 9, a nova divisão fica exata. Isso significa que o resto $ R $ passa a ser 0 e o quociente aumenta em 2. Então, podemos escrever:
A

Passo 4

Vamos substituir a primeira equação na segunda. Sabemos que $ A = B \times Q + R $, então:
A = B times Q + R

Passo 5

Simplificando a equação:
B times Q + R + 9 = B times Q + 2B
Cancelando $ B \times Q $ de ambos os lados:
B times Q
Então, isolando $ R $:
R + 9 = 2B

Passo 6

Lembre-se que o resto $ R $ deve ser menor que $ B $ e maior ou igual a 0:
R
Substituindo $ R = 2B - 9 $:
B

Passo 7

Vamos resolver as duas partes dessa desigualdade.
Primeira parte:
2B - 9 >= 0
2B >= 9
B >= 92
Como $ B $ é inteiro positivo:
B
Segunda parte:
B >= 5
2B - 9 < B
2B - B < 9
Então, $ B $ deve ser um inteiro entre 5 e 8.

Passo 8

Vamos testar os valores possíveis de $ B $:
  • Para $ B = 5 $:
    B
  • Para $ B = 6 $:
    B = 5
  • Para $ B = 7 $:
    R = 2(5) - 9 = 10 - 9 = 1
  • Para $ B = 8 $:
    B = 6

Passo 9

Agora, vamos encontrar $ A $ para cada valor de $ B $:
Lembrando que:
A
E também sabemos que:
B
A = B times Q + R
Então:
A + 9 = B times (Q + 2)
A = B times (Q + 2) - 9
B times (Q + 2) - 9 = B times Q + R
Isso confirma nosso cálculo anterior.

Passo 10

Queremos minimizar $ A + B $. Usando $ A = B \times Q + R $ e $ R = 2B - 9 $:
A + B
A = B times Q + R
Para minimizar, vamos assumir $ Q = 1 $ (menor valor possível para $ Q $):
R = 2B - 9
Agora, calculamos para cada $ B $:
  • $ B = 5 $:
    A = B times Q + 2B - 9
  • $ B = 6 $:
    A + B = B times Q + 3B - 9
  • $ B = 7 $:
    Q = 1
  • $ B = 8 $:
    Q

Resposta

O menor valor da soma $ A + B $ que satisfaz as condições é 11, ou seja, a opção b) 11.

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