Seja f(x, y)=cllx^3 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).
© Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1, f(1,1))

Passo 1

Temos a função definida por
f(x,y)=dfracx^3yx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
e queremos o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (1,1,f(1,1)). Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais fx e fy e usar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro calculamos f(1,1) substituindo na expressão de f(x,y) para (x,y)neq(0,0):
f(1,1)=1^3cdot11^2+1^2=12

Passo 3

Para obter fx(x,y), aplicamos a regra do quociente a
N(x,y)=x^3y, D(x,y)=x^2+y^2
Temos
$$f_x=\frac{N_xD-ND_x}{D^2}=
\frac{(3x2y)(x2+y2)-x3y\cdot(2x)}{(x2+y2)^2}
=\frac{x2y,(x2+3y2)}{(x2+y2)2}.
$$

Passo 4

De forma análoga, para fy(x,y) aplicamos a regra do quociente e obtemos
fy=NyD-NDyD^2= (x^3)(x^2+y^2)-x^3ycdot(2y)(x^2+y^2)^2 =x^3(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Agora avaliamos as derivadas em (1,1):
fx(1,1)=1^2cdot1,(1+3)(1+1)^2=44=1, fy(1,1)=1^3(1-1)4=0

Passo 6

Usamos a fórmula do plano tangente:
z-z0=fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0),
onde (x0,y0,z0)=(1,1,1/2). Assim,
$$z-\tfrac12=1,(x-1)+0,(y-1).
$$

Resposta

z = x - tfrac12

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