Em cada um dos itens, assinalar o ponto dado em coordenadas polares e depois escrever as coordenadas polares para o mesmo ponto, tais que:
(i) r tenha sinal contrário;
(d) (4,5 pi / 6)

Passo 1

Neste exercício estamos lidando com coordenadas polares. O ponto dado é (r,theta) = (4,5pi/6). Vamos precisar usar a ideia de que uma mesma posição no plano pode ser descrita por diferentes pares (r,theta): acrescentando 2pi ao ângulo ou trocando o sinal de r desde que aumentemos theta em pi.

Passo 2

Em coordenadas polares, r indica a distância até a origem e theta o ângulo em relação ao eixo x positivo. Uma das transformações que gera a mesma posição é: se quisermos inverter o sinal de r, devemos somar pi ao ângulo. Matematicamente,
(r,theta) mapsto (-r,theta + pi)

Passo 3

Aplicando isso ao nosso ponto (4,5pi/6), temos:
r' = -4, theta' = 5pi/6 + pi = 5pi/6 + 6pi/6 = 11pi/6

Passo 4

Portanto, o par (-4,11pi/6) representa o mesmo ponto, mas com r de sinal contrário.

Resposta

(-4,11\pi/6)

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