Use integração por partes (em alguns casos, sucessivas integrações por partes) para calcular a integral indefinida.
(e) integral ln 5 x d x

Passo 1

Nesse exercício a gente precisa calcular a integral indefinida integral ln(5x),dx. O conteúdo aqui é integração por partes, e pra resolver a gente vai usar a fórmula:
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Pra escolher as partes, vamos definir u = ln(5x) e dv = dx, porque derivando u simplifica e dv é fácil de integrar. Agora derivamos u e integramos dv. Temos:
du = ddxln(5x),dx = 1x,dx
e
v = integral dx = x

Passo 3

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral ln(5x),dx = xln(5x) - integral x cdot 1x,dx

Passo 4

A integral remanescente é simples:
integral x cdot tfrac1x,dx = integral 1,dx = x

Passo 5

Portanto,
integral ln(5x),dx = xln(5x) - x + C

Resposta

x\ln(5x) - x + C

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