Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região R limitada pelas curvas y = x e y = √x. O conteúdo aplicado é volume de sólidos de revolução pelo método dos discos (ou anéis). Vamos precisar: 1) achar os pontos de interseção, 2) identificar a função externa (raio maior) e interna (raio menor), e 3) montar e calcular a integral.
Passo 2
Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
Isso dá x² = x, logo x = 0 ou x = 1. Então a região vai de x = 0 até x = 1.
Passo 3
Em cada x entre 0 e 1, a curva superior é y = √x (pois √x ≥ x) e a inferior é y = x. Ao girar em torno do eixo x, o raio externo é R(x) = √x e o interno é r(x) = x.
Passo 4
Pelo método dos anéis, o volume é dado por:
Simplificando a integral: