Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: y=x, y=raizx;
E: eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região R limitada pelas curvas y = x e y = √x. O conteúdo aplicado é volume de sólidos de revolução pelo método dos discos (ou anéis). Vamos precisar: 1) achar os pontos de interseção, 2) identificar a função externa (raio maior) e interna (raio menor), e 3) montar e calcular a integral.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas curvas:
x = raizx
Isso dá x² = x, logo x = 0 ou x = 1. Então a região vai de x = 0 até x = 1.

Passo 3

Em cada x entre 0 e 1, a curva superior é y = √x (pois √x ≥ x) e a inferior é y = x. Ao girar em torno do eixo x, o raio externo é R(x) = √x e o interno é r(x) = x.

Passo 4

Pelo método dos anéis, o volume é dado por:
V = π integral0^1 l(R(x)^2 - r(x)^2r),dx = π integral0^1 l((raizx)^2 - (x)^2r),dx
Simplificando a integral:
V = π integral0^1 (x - x^2),dx = π l[x^22 - x^33r]0^1 = π l(12 - 13r)

Resposta

V = π6

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