(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de ;
(ii) escreva a série de potências que define a função e ache seu raio de convergência;
(iii) Ache o domínio de .
Passo 1
O enunciado nos dá a função definida por uma série de potências
O conteúdo envolvido é séries de potências: precisamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois derivar termo a termo para obter a série de .
Passo 2
Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão. Seja
Então
Como limntoinftyx^22n(2n-1)=0<1 para todo x, o raio de convergência é R=+infty. Logo o domínio de f é (-infty,+infty).
Passo 3
Para obter a série de f'(x), derivamos termo a termo. Reescrevendo com m=n-1, temos
Para o raio de convergência de f' aplicamos de novo o teste da razão sobre o termo bk=x^2k+1/(2k+1)!. O cálculo é análogo e mostra que R'=+infty. Portanto a série de f' também converge para todo x, ou seja, o domínio de f' é (-infty,+infty).
Resposta
(i) Raio de convergência R=+infty e domínio de f é (-infty,+infty).
(ii) A série de f'(x) é f'(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)! com raio R'=+infty.
(iii) Domínio de f' é (-infty,+infty).