(i) Ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f;
(ii) escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência;
(iii) Ache o domínio de f^prime.
f(x)=sumn=1^infty x^2 n-2(2 n-2)!

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por uma série de potências
f(x)=sumn=1^inftyx^2n-2(2n-2)!
O conteúdo envolvido é séries de potências: precisamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois derivar termo a termo para obter a série de f'(x).

Passo 2

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão. Seja
an=x^2n-2(2n-2)!
Então
|an+1an| =|x^2(n+1)-2(2(n+1)-2)!cdot(2n-2)!x^2n-2| =x^2(2n)(2n-1)
Como limntoinftyx^22n(2n-1)=0<1 para todo x, o raio de convergência é R=+infty. Logo o domínio de f é (-infty,+infty).

Passo 3

Para obter a série de f'(x), derivamos termo a termo. Reescrevendo com m=n-1, temos
f(x)=summ=0^inftyx^2m(2m)!
Derivando:
f'(x)=summ=1^infty2m,x^2m-1(2m)! =summ=1^inftyx^2m-1(2m-1)!
Renumerando com k=m-1
f'(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)!

Passo 4

Para o raio de convergência de f' aplicamos de novo o teste da razão sobre o termo bk=x^2k+1/(2k+1)!. O cálculo é análogo e mostra que R'=+infty. Portanto a série de f' também converge para todo x, ou seja, o domínio de f' é (-infty,+infty).

Resposta

(i) Raio de convergência R=+infty e domínio de f é (-infty,+infty).
(ii) A série de f'(x) é f'(x)=sumk=0^inftyx^2k+1(2k+1)! com raio R'=+infty.
(iii) Domínio de f' é (-infty,+infty).

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