SEJA f UMA FUNCAO invERSÍVEL E g(x)=raiz2f(x)-2. ACHE UMA EXPRESSAAO PRA g^-1 EM TERMOS DE f^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f $ que é inversível, ou seja, tem uma função inversa $ f^{-1} $. E a gente também tem outra função $ g(x) = \sqrt{2f(x) - 2} $. O que a gente precisa fazer é encontrar uma expressão para a função inversa de $ g $, chamada de $ g^{-1} $, utilizando a função inversa de $ f $, $ f^{-1} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se $ f $ é inversível, isso quer dizer que existe uma função $ f^{-1} $ tal que:
f
Isso é basicamente uma “desfazer” a função $ f $.

Passo 3

Agora, queremos encontrar $ g^{-1} $ em termos de $ f^{-1} $. Para isso, vamos começar escrevendo a definição de $ g $:
g^-1
O objetivo é isolar $ x $ em função de $ y $, onde $ y = g(x) $.

Passo 4

Vamos começar substituindo $ y $ por $ g(x) $:
y
Nosso próximo passo é eliminar a raiz quadrada. Para isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
g(x)

Passo 5

Agora, vamos isolar $ f(x) $. Primeiro, adicionamos 2 aos dois lados da equação:
f(x)
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:
y^2 + 2 = 2f(x)

Passo 6

Lembrando que $ f $ é inversível, podemos aplicar a função inversa $ f^{-1} $ em ambos os lados para resolver para $ x $:
f
Simplificando o lado esquerdo:
f^-1

Passo 7

Finalmente, substituindo $ y $ por $ g^{-1}(y) $, temos a expressão da função inversa de $ g $:
y

Resposta

A função inversa de $ g $ em termos de $ f^{-1} $ é:
g

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