SEJA
UMA FUNCAO invERSÍVEL E
. ACHE UMA EXPRESSAAO PRA
EM TERMOS DE
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f $ que é inversível, ou seja, tem uma função inversa $ f^{-1} $. E a gente também tem outra função $ g(x) = \sqrt{2f(x) - 2} $. O que a gente precisa fazer é encontrar uma expressão para a função inversa de $ g $, chamada de $ g^{-1} $, utilizando a função inversa de $ f $, $ f^{-1} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função inversa. Se $ f $ é inversível, isso quer dizer que existe uma função $ f^{-1} $ tal que:
Isso é basicamente uma “desfazer” a função $ f $.
Passo 3
Agora, queremos encontrar $ g^{-1} $ em termos de $ f^{-1} $. Para isso, vamos começar escrevendo a definição de $ g $:
O objetivo é isolar $ x $ em função de $ y $, onde $ y = g(x) $.
Passo 4
Vamos começar substituindo $ y $ por $ g(x) $:
Nosso próximo passo é eliminar a raiz quadrada. Para isso, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ f(x) $. Primeiro, adicionamos 2 aos dois lados da equação:
Em seguida, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 6
Lembrando que $ f $ é inversível, podemos aplicar a função inversa $ f^{-1} $ em ambos os lados para resolver para $ x $:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, substituindo $ y $ por $ g^{-1}(y) $, temos a expressão da função inversa de $ g $:
Resposta
A função inversa de $ g $ em termos de $ f^{-1} $ é: