Em cada um dos itens seguintes verifique que a equação diferencial dada é exata e resolva-a.
(3 x^2+2 y^2) d x+(4 x y+6 y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(3x^2+2y^2r),dx+l(4xy+6y^2r),dy=0
e pede que verifiquemos que ela é exata e, em seguida, a resolvamos. Para isso vamos usar o método da função potencial Phi(x,y), em que
partial Phipartial x=M(x,y) e partial Phipartial y=N(x,y),
sendo M(x,y)=3x^2+2y^2 e N(x,y)=4xy+6y^2.

Passo 2

Verificamos a exatidão pelo teste
partial Mpartial y = partialpartial yl(3x^2+2y^2r) =4y, partial Npartial x = partialpartial xl(4xy+6y^2r) =4y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Phi(x,y) integrando M em relação a x:
Phi(x,y) =integral l(3x^2+2y^2r),dx =x^3+2xy^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos Phi em relação a y e igualamos a N:
partial Phipartial y =partialpartial yl(x^3+2xy^2+h(y)r) =4xy + h'(y) stackrel!=4xy+6y^2
Daí h'(y)=6y^2, logo
h(y)=2y^3

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
Phi(x,y)=x^3+2xy^2+2y^3,
e a solução geral da equação diferencial exata fica
x^3+2xy^2+2y^3=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^3+2xy^2+2y^3=C

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