Em cada um dos itens seguintes verifique que a equação diferencial dada é exata e resolva-a.
(x^3+yx) d x+(y^2+ln x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a equação diferencial
l(x^3+yxr),dx+l(y^2+ln xr),dy=0
é exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos usar o critério de exatidão para M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, isto é, verificar se
partial Mpartial y=partial Npartial x,
depois construir uma função potencial F(x,y) tal que Fx=M e Fy=N.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^3+yx, N(x,y)=y^2+ln x
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =1x, partial Npartial x =ddx(ln x) =1x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) tal que Fx=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y) =integrall(x^3+yxr),dx =x^44+yln x+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora impomos Fy=N. Calculamos
Fy =partialpartial yl(x^44+yln x+h(y)r) =ln x + h'(y)
Como devemos ter Fy=y^2+ln x, segue
ln x + h'(y)=y^2+ln x Longrightarrow h'(y)=y^2 Longrightarrow h(y)=y^33
Portanto a função potencial completa é
F(x,y) =x^44+yln x+y^33

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
x^44+yln x+y^33=C,
com C constante.

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