Seja f(x)=1-x^23. Mostre que f(-1)=f(1), mas não existe um número c em (-1,1) tal que f^prime(c)=0. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?

Passo 1

O enunciado afirma que em f(x)=1 - x^23 teríamos
f(-1)=f(1)
e ao mesmo tempo não existiria cin(-1,1) com f'(c)=0. Isso sugeriria um “contra-exemplo” ao Teorema de Rolle. Vamos primeiro verificar os valores nos extremos e depois a derivada.

Passo 2

Calculemos
f(-1)=1 - (-1)^23=1 - (-1)=2,
f(1)=1 - 1^23=1 - 1=0
Logo
f(-1)=2neq 0=f(1)
Portanto a afirmação f(-1)=f(1) está incorreta.

Passo 3

De todo modo, a derivada de f é
f'(x) = -23,x^22
Esse f'(x) só é zero quando x^22=0, ou seja em x=0. De fato
f'(0)= -23cdot0^22=0
Logo existe sim um ponto c=0 em (-1,1) com f'(c)=0.

Passo 4

De qualquer forma, não há contradição com o Teorema de Rolle porque uma de suas hipóteses não se cumpria: é preciso ter
f(-1)=f(1)
para garantir algum cin(-1,1) com f'(c)=0. Como de fato f(-1)neq f(1), o Teorema de Rolle simplesmente não se aplica e não há contradição.

Resposta

A afirmação correta é
f(-1)=2neq0=f(1),
logo não se satisfaz a hipótese f(-1)=f(1) do Teorema de Rolle, de modo que não há como obter qualquer contradição.

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