Seja
. Mostre que
, mas não existe um número
em
tal que
. Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
O enunciado afirma que em
teríamos
e ao mesmo tempo não existiria
com
. Isso sugeriria um “contra-exemplo” ao Teorema de Rolle. Vamos primeiro verificar os valores nos extremos e depois a derivada.
Passo 2
Calculemos
Logo
Portanto a afirmação
está incorreta.
Passo 3
De todo modo, a derivada de
é
Esse
só é zero quando
, ou seja em
. De fato
Logo existe sim um ponto
em
com
.
Passo 4
De qualquer forma, não há contradição com o Teorema de Rolle porque uma de suas hipóteses não se cumpria: é preciso ter
para garantir algum
com
. Como de fato
, o Teorema de Rolle simplesmente não se aplica e não há contradição.
Resposta
A afirmação correta é
logo não se satisfaz a hipótese
do Teorema de Rolle, de modo que não há como obter qualquer contradição.