Encontre uma solução em séries de potências em t0=0 (Você deve encontrar apenas a relação de recorrência).
y^prime prime-t y=0

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências em torno de t0=0 para a equação
y'' - t,y = 0,
e quer apenas a relação de recorrência entre os coeficientes da série. Vamos usar o método de série de potências, que consiste em supor
y = sumn=0^infty an,t^n,
calcular as derivadas, substituir na EDO e alinhar as potências de t.

Passo 2

Calcular y''. Partindo de
y = sumn=0^infty an,t^n,
temos
y'' = sumn=2^infty n,(n-1),an,t^,n-2

Passo 3

Calcular o termo t,y. Multiplicando a série de y por t
t,y = sumn=0^infty an,t^,n+1 = sumn=1^infty an-1,t^,n

Passo 4

Substituir na EDO e alinhar potências.
sumn=2^infty n(n-1),an,t^,n-2 ;-;sumn=1^infty an-1,t^,n ;=;0
No primeiro somatório faça k=n-2 e no segundo use k=n. Isso leva a
sumk=0^infty(k+2)(k+1),ak+2,t^,k ;-;sumk=1^inftyak-1,t^,k ;=;0

Passo 5

Extrair as equações para cada potência de t.
Para k=0 vem
2cdot1;a2=0Longrightarrow a2=0
Para k>=1 igualamos o coeficiente de t^k a zero:
(k+2)(k+1),ak+2-ak-1=0 Longrightarrow ak+2=ak-1(k+2)(k+1)
Fazendo n=k-1 obtemos a forma padrão da recorrência.

Resposta

an+3 = an(n+3)(n+2), n>=0

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