Em cada um dos itens seguintes verifique que a equação diferencial dada é exata e resolva-a.
(cos x+ln y) d x+(xy+e^y) d y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
(cos x + ln y),dx ;+;l(xy + e^yr),dy = 0
Isso cai na categoria de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos identificar
M(x,y) = cos x + ln y, N(x,y) = xy + e^y,
verificar a condição de exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y), partial Psipartial y = N(x,y)

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando
partial Mpartial y = partialpartial y(cos x + ln y) = 1y, partial Npartial x = partialpartial xl(xy + e^yr) = 1y
Como
partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) integrando M em relação a x:
Psi(x,y) = integral (cos x + ln y),dx = integral cos x,dx + integral ln y,dx = sin x + x,ln y + h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Para achar h(y), usamos a condição
partial Psipartial y = partialpartial yl(sin x + xln y + h(y)r) = xy + h'(y)
que deve coincidir com
N(x,y) = xy + e^y
Logo
h'(y) = e^y,
e integrando obtemos
h(y) = integral e^y,dy = e^y

Passo 5

Substituindo h(y) em Psi, a solução geral implícita é
Psi(x,y) = sin x + xln y + e^y = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

sin x + x ln y + e^y = C

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