Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
f(x)=ln x, [1,4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=ln x
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [1,4] e, em caso afirmativo, encontrar todo cin(1,4) tal que
f'(c)=f(4)-f(1)4-1
O conteúdo envolve continuidade, diferenciabilidade e cálculo de derivada.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do Teorema do Valor Médio:
– A função ln x é contínua em [1,4] porque o logaritmo natural é contínuo em todo o seu domínio (0,infty).
– A função ln x é diferenciável em (1,4) porque é diferenciável em todo o seu domínio (0,infty).

Passo 3

Calculamos a taxa média de variação de f em [1,4]:
f(4)=ln4, f(1)=ln1=0,
então
f(4)-f(1)4-1 =ln4-03 =ln43
Também temos a derivada
f'(x)=1x

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Médio existe cin(1,4) tal que
f'(c)=ln43
Isto é,
1c=ln43 Longrightarrow c=3ln4
Verificamos que ln4>0, logo c>0, e numericamente
c=3ln4approx2,16in(1,4),
como exigido.

Resposta

c=3ln4

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