Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números
que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
e, em caso afirmativo, encontrar todo
tal que
O conteúdo envolve continuidade, diferenciabilidade e cálculo de derivada.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do Teorema do Valor Médio:
– A função é contínua em
porque o logaritmo natural é contínuo em todo o seu domínio
.
– A função é diferenciável em
porque é diferenciável em todo o seu domínio
.
– A função
– A função
Passo 3
Calculamos a taxa média de variação de
em
:
então
Também temos a derivada
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Médio existe
tal que
Isto é,
Verificamos que
, logo
, e numericamente
como exigido.