Em cada um dos itens a seguir, calcule o ângulo, a distância entre u e v e as projeções P_{u} v e P_{v} u.
u=(2,3), v=(-3,2)

Passo 1

O enunciado pede, para os vetores
u = (2,3),\quad v = (-3,2),
que a gente calcule
  1. o ângulo entre u e v,
  2. a distância entre u e v,
  3. a projeção de v sobre u, P_{u}v,
  4. e a projeção de u sobre v, P_{v}u.
    Para isso vamos usar as fórmulas de produto escalar, norma de vetores, ângulo via cosseno e projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro, o produto escalar e as normas:
u\cdot v = 2\cdot(-3) + 3\cdot2 = -6 + 6 = 0.
\|u\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}, \quad \|v\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.
Como u\cdot v = 0, isso significa que u e v são ortogonais, logo o ângulo entre eles satisfaz
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 90^\circ.

Passo 3

A distância entre u e v é a norma de u - v:
u - v = (2 - (-3),\,3 - 2) = (5,1),
\|u - v\| = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}.

Passo 4

A projeção de v sobre u é
P_{u}v = \frac{v\cdot u}{\|u\|^2}\,u.
Como v\cdot u = 0, temos
P_{u}v = \frac{0}{\|u\|^2}\,u = (0,0).
Analogamente, a projeção de u sobre v é
P_{v}u = \frac{u\cdot v}{\|v\|^2}\,v = \frac{0}{\|v\|^2}\,v = (0,0).

Resposta

O ângulo entre u e v é 90^\circ.
A distância entre u e v é \sqrt{26}. P_{u}v = (0,0). P_{v}u = (0,0).

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