Em cada um dos itens a seguir, calcule o ângulo, a distância entre u e v e as projeções P_{u} v e P_{v} u.
u=(1,-1), v=(0,1)

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,u=(1,-1) e \,v=(0,1) e pede:
  1. O ângulo entre eles,
  2. A distância entre eles,
  3. A projeção de v sobre u, denotada P_{u}v,
  4. A projeção de u sobre v, denotada P_{v}u.
    Os conceitos que vamos usar são produto escalar, norma de vetor e fórmula de projeção ortogonal.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto escalar e as normas:
u \cdot v = 1\cdot 0 + (-1)\cdot 1 = -1,
\|u\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}, \quad \|v\| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1.
Logo o cosseno do ângulo \theta é
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|} = \frac{-1}{\sqrt{2}\,\cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = \tfrac{3\pi}{4}.

Passo 3

Para a distância usamos a norma de u-v:
u - v = (1,-1)-(0,1) = (1,-2),
\|u - v\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}.

Passo 4

A projeção de v sobre u é dada por
P_{u}v = \frac{v\cdot u}{u\cdot u}\,u.
Como v\cdot u=-1 e u\cdot u=\|u\|^2=2, temos
P_{u}v = \frac{-1}{2}\,(1,-1) = \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Passo 5

A projeção de u sobre v é
P_{v}u = \frac{u\cdot v}{v\cdot v}\,v.
Aqui u\cdot v=-1 e v\cdot v=\|v\|^2=1, logo
P_{v}u = (-1)\,(0,1) = (0,-1).

Resposta

Ângulo \theta = \tfrac{3\pi}{4}.
Distância \|u-v\| = \sqrt{5}. P_{u}v = \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr). P_{v}u = (0,-1).

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