Em cada um dos itens a seguir, calcule o ângulo, a distância entre u e v e as projeções P_{u} v e P_{v} u.
u=(-2,-3), v=(6,9)

Passo 1

O enunciado dá u=(-2,-3) e v=(6,9) e pede:
– o ângulo entre u e v,
– a distância entre u e v,
– as projeções P_{u}v e P_{v}u.
Para isso vamos usar produto escalar, norma de vetor e a fórmula de projeção de um vetor sobre o outro.

Passo 2

Calcular produto escalar e normas:
u\cdot v = (-2)\cdot6 + (-3)\cdot9 = -12 - 27 = -39,
\|u\| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13},
\|v\| = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}.
O cosseno do ângulo \theta entre os vetores é
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\;\|v\|} = \frac{-39}{\sqrt{13}\,(3\sqrt{13})} = \frac{-39}{3\cdot13} = -1.
Logo \theta = \pi radianos (ou 180^\circ), o que mostra que u e v são colineares e em direções opostas.

Passo 3

Calcular a distância \|u - v\|:
u - v = (-2-6,\;-3-9) = (-8,\,-12),
\|u - v\| = \sqrt{(-8)^2 + (-12)^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}.

Passo 4

Usar a fórmula de projeção de v sobre u:
P_{u}v = \frac{u\cdot v}{\|u\|^2}\;u = \frac{-39}{13}\;u = -3\,u = -3\,(-2,-3) = (6,9),
e a projeção de u sobre v:
P_{v}u = \frac{u\cdot v}{\|v\|^2}\;v = \frac{-39}{117}\;v = -\tfrac{1}{3}\,v = -\tfrac{1}{3}\,(6,9) = (-2,-3).

Resposta

Ângulo \theta = \pi rad (ou 180^\circ)
Distância \|u - v\| = 4\sqrt{13} P_{u}v = (6,9) P_{v}u = (-2,-3)

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