Define-se o produto escalar entre u=\left(x_{1}, y_{1}\right), v=\left(x_{2}, y_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} por:
u \cdot v=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}
Dados u, v, w \in \mathbb{R}^{2} e k \in \mathbb{R} quaisquer, demonstre as seguintes propriedades algébricas do produto escalar:
(u+v) \cdot w=u \cdot w+v \cdot w

Passo 1

O enunciado define o produto escalar em \mathbb{R}^2 por
u\cdot v = x_1x_2 + y_1y_2
para u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2), e pede para demonstrar a distributividade em relação à soma de vetores:
(u+v)\cdot w \;=\; u\cdot w + v\cdot w.

Passo 2

Sejam
u=(x_1,y_1), \quad v=(x_2,y_2), \quad w=(x_3,y_3).
Então a soma dos vetores u e v é
u+v = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2).

Passo 3

Aplicando a definição do produto escalar ao par (u+v,\,w), temos
(u+v)\cdot w = (x_1 + x_2)\,x_3 \;+\;(y_1 + y_2)\,y_3.

Passo 4

Agora usamos a distributividade da soma e da multiplicação em \mathbb{R} para reescrever:
(x_1 + x_2)\,x_3 = x_1x_3 + x_2x_3, \quad (y_1 + y_2)\,y_3 = y_1y_3 + y_2y_3.
Logo,
(u+v)\cdot w = x_1x_3 + x_2x_3 + y_1y_3 + y_2y_3.

Passo 5

Agrupando termos, obtemos
(u+v)\cdot w = (x_1x_3 + y_1y_3) \;+\;(x_2x_3 + y_2y_3) = u\cdot w \;+\; v\cdot w.

Resposta

(u+v)\cdot w = u\cdot w + v\cdot w.

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