Em cada um dos itens a seguir, defina uma função

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)= x,&x<=1, dfrac1x,&x>1,
definindo seu domínio, esboçando o gráfico, verificando se o domínio é limitado ou ilimitado, encontrando a imagem, checando se a função é limitada e determinando se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. O conteúdo usado envolve funções a pedaços, domínio, imagem, ideias de função limitada e paridade.

Passo 2

O domínio natural de f é
D=xin Rmid x<=1cupxin Rmid x>1= R
Como abrange todos os números reais, o domínio é ilimitado.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, dividimos em dois ramos:
– Para x<=1, y=x é a reta que vai de (-infty,-infty) até (1,1), incluindo este ponto.
– Para x>1, y=1/x é o ramo de hipérbole em que, ao passar por xto1^+, yto1 (com círculo aberto em (1,1) mas o ponto já está coberto pelo ramo anterior) e, conforme xto+infty, yto0^+.

Passo 4

A imagem de cada ramo é
– Ramo y=x, x<=1: y varia em (-infty,1].
– Ramo y=1/x, x>1: y varia em (0,1).
Unindo, a imagem total de f é
Im(f)=(-infty,1]

Passo 5

Como y atinge valores arbitrariamente negativos (quando xto-infty) e não fica preso num limite inferior, f é ilimitada (não limitada). Ela é apenas limitada acima por 1, mas isso não a torna uma função limitada em sentido completo.

Passo 6

Para verificar paridade, comparamos f(-x) e f(x):
– Por exemplo, para x=2, f(2)=tfrac12 mas f(-2)=-2, logo f(-2)neq f(2) (não é par) e f(-2)neq -f(2) (não é ímpar).
Portanto, f não é par nem ímpar.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: (-infty,1]
Função ilimitada (não limitada)
Função nem par nem ímpar

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