1^a Questão: Determine por definição a derivada da função abaixo.
g(x)=2x^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=2x^2 usando a definição de derivada. Para isso, vamos usar o limite
g'(x)=limhto0g(x+h)-g(x)h

Passo 2

Substituindo g(x)=2x^2 no quociente de diferença, obtemos
g(x+h)-g(x)h = 2(x+h)^2 - 2x^2h

Passo 3

Colocamos as duas frações sobre um mesmo denominador e expandimos (x+h)^2=x^2+2xh+h^2:
2(x+h)^2 - 2x^2h = 2x^2 - 2(x+h)^2x^2(x+h)^2,h = 2x^2 - 2l(x^2+2xh+h^2r)x^2(x+h)^2,h = -4xh - 2h^2x^2(x+h)^2,h

Passo 4

Fatoramos h no numerador e cancelamos com o h do denominador:
-4xh - 2h^2x^2(x+h)^2,h = -2h(2x+h)x^2(x+h)^2,h = -2(2x+h)x^2(x+h)^2
Então
g'(x) = limhto0-2(2x+h)x^2(x+h)^2

Passo 5

Aplicando o limite hto0 na expressão acima, temos
g'(x) = -2cdot(2x+0)x^2cdot x^2 = -4xx^4 = -4x^3

Resposta

g'(x) = -dfrac4x^3

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