Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=3-x^2

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = 3 - x^2
que definamos seu domínio DsubsetR, esbocemos o gráfico, verifiquemos se o domínio é limitado ou ilimitado, determinemos a imagem, decidamos se a função é limitada ou ilimitada e, por fim, se ela é par ou ímpar.

Passo 2

Como y=3-x^2 é um polinômio em x, a sua definição não impõe restrição a x. Logo
D = R,
que é um domínio ilimitado.

Passo 3

Para esboçar o gráfico note que é uma parábola com concavidade para baixo. O vértice ocorre em (0,3). As raízes satisfazem
3 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pmraiz3,
ou seja, intercepta o eixo x em (pmraiz3,0), e conforme |x|toinfty, yto -infty.

Passo 4

O valor máximo ocorre no vértice e vale 3. Para |x|toinfty a função decresce sem limite, chegando a -infty. Portanto a imagem é
Im(f) = (-infty,,3]

Passo 5

A função é limitada acima (máximo 3) porém não tem limite inferior, pois vai a -infty. Assim, no sentido de “função limitada” (limitada nos dois lados) ela é ilimitada.

Passo 6

Verificamos a paridade por
f(-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = f(x),
logo f é uma função par.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: (-infty,3]
Função limitada? — limitada superiormente (por 3), mas ilimitada inferiormente (logo não é totalmente limitada)
Paridade: par

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