verifique que a equação diferencial dada não é exata. Multiplique a equação diferencial pelo fator integrante mu(x, y) indicado e verifique que a nova equação é exata. Resolva-a.
(-x y sen x+2 y cos x) d x+2 x cos x d y=0 ; mu(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(-x,ysin x + 2,ycos x),dx + 2,xcos x,dy = 0
e indica o fator integrante mu(x,y)=x,y. O conteúdo é equações exatas: vamos (i) verificar que a equação original não é exata, (ii) multiplicar por mu e checar a exatidão, e (iii) resolver a equação exata resultante encontrando uma função potencial Phi(x,y).

Passo 2

Definimos
M(x,y) = -x,ysin x + 2,ycos x, N(x,y) = 2,xcos x
Calculamos
partial Mpartial y = -xsin x + 2cos x, partial Npartial x = 2cos x - 2,xsin x
Como
partial Mpartial y = 2cos x - xsin x neq 2cos x - 2,xsin x = partial Npartial x,
a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu(x,y)=x,y. Os novos termos são
widetilde M = x,y,M = -x^2y^2sin x + 2,x,y^2cos x, widetilde N = x,y,N = 2,x^2ycos x

Passo 4

Verificamos exatidão:
partial widetilde Mpartial y = -2,x^2ysin x + 4,x,ycos x, partial widetilde Npartial x = 4,x,ycos x - 2,x^2ysin x
Como partialwidetilde M/partial y = partialwidetilde N/partial x, a equação
widetilde M,dx + widetilde N,dy = 0
é exata.

Passo 5

Procuramos Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = widetilde M, partial Phipartial y = widetilde N
Integramos widetilde M em x:
Phi(x,y) = integrall(-x^2y^2sin x + 2,x,y^2cos xr),dx = y^2integrall(-x^2sin x + 2xcos xr),dx
Fazendo as integrais por partes (ou observando que
integral(-x^2sin x + 2xcos x),dx = x^2cos x), obtemos
Phi(x,y) = x^2y^2cos x + h(y)

Passo 6

Derivando em y:
partial Phipartial y = 2,x^2ycos x + h'(y) stackrel!= widetilde N = 2,x^2ycos x ;Longrightarrow; h'(y)=0;Longrightarrow;h(y)=C
Logo a solução geral é
Phi(x,y) = x^2y^2cos x = C

Resposta

x^2,y^2cos x = C

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