verifique que a equação diferencial dada não é exata. Multiplique a equação diferencial pelo fator integrante
indicado e verifique que a nova equação é exata. Resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e indica o fator integrante
. O conteúdo é equações exatas: vamos (i) verificar que a equação original não é exata, (ii) multiplicar por
e checar a exatidão, e (iii) resolver a equação exata resultante encontrando uma função potencial
.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Multiplicamos a equação por
. Os novos termos são
Passo 4
Verificamos exatidão:
Como
, a equação
é exata.
Passo 5
Procuramos
tal que
Integramos
em
:
Fazendo as integrais por partes (ou observando que
), obtemos
Passo 6
Derivando em
:
Logo a solução geral é