Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=|x|^3

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = f(x) = |x|^3
que identifiquemos o domínio, façamos um esboço do gráfico, encontremos a imagem, verifiquemos se o domínio e a imagem são limitados ou ilimitados e, por fim, decidamos se a função é par ou ímpar. O conteúdo envolve valor absoluto e análise de função real.

Passo 2

O valor absoluto está bem definido para todo real, e a potência 3 também. Logo, o domínio é
D = R
Esse domínio é ilimitado, pois não há restrição em x.

Passo 3

Para esboçar, note que
f(x)= x^3,&x>=0, (-x)^3=-x^3,&x<0
Isso gera um “V” suave virado para cima: para x>=0 é a curva y=x^3 crescente; para x<0 é a curva y=-x^3, igualmente crescente quando nos deslocamos para a direita, e simétrica em relação ao eixo y. No ponto x=0, f(0)=0.

Passo 4

Como |x|^3 nunca fica negativo e cresce sem limite quando |x|toinfty, a imagem é
Im(f)=[0,infty)

Passo 5

– Domínio: R é ilimitado.
– Imagem: [0,infty) é ilimitada acima (não há maior valor de y), mas limitada abaixo (mínimo 0).
Portanto, a função não é limitada globalmente (é ilimitada para ytoinfty).

Passo 6

Para qualquer xinR vale
f(-x)=|-x|^3=|x|^3=f(x),
logo f é uma função par.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: [0,infty) (ilimitada acima)
Função: não limitada (ilimitada em ytoinfty)
Paridade: par

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