Questão 1 - Valor 4 pontos
Resolva a Equação diferencial:
d yd x=x-5y^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dydx = x - 5y^2
O conteúdo aqui é equações diferenciais separáveis. Para resolvê-la, vamos usar a técnica de separação de variáveis e depois integrar ambos os lados.

Passo 2

Separe as variáveis de forma que todos os termos em y fiquem com dy e todos os termos em x fiquem com dx. Multiplicando ambos os lados por y^2,dx, obtemos
y^2,dy = (x - 5),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral y^2,dy = integral (x - 5),dx
No lado esquerdo,
integral y^2,dy = y^33
No lado direito,
integral (x - 5),dx = integral x,dx - integral 5,dx = x^22 - 5x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando as duas primitivadas, temos
y^33 = x^22 - 5x + C
Multiplicando por 3,
y^3 = 32,x^2 - 15x + C1,
em que C1=3C é uma nova constante arbitrária. Finalmente, isolamos y:
y = raiz[3]32,x^2 - 15x + C1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = raiz[3]32,x^2 - 15x + C,
onde C é a constante de integração.

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