(a) Prove que se , então , para .
(b) Prove que a reta tangente a em ( ) intersecta o gráfico de em outro ponto, que se encontra no lado oposto do eixo vertical.
Passo 1
O enunciado trata da função
e pede: (a) calcular sua derivada em usando a definição de derivada; (b) mostrar que a reta tangente em corta de novo o gráfico de num ponto com abscissa de sinal oposto a .
Passo 2
Usamos a definição
No numerador faça a subtração de frações:
Portanto
Passo 3
A reta tangente em tem coeficiente angular
e passa por . Sua equa\c{c}~ao ponto– declive 'e
isto ‘e, em forma expl’\i c’ita,
Passo 4
Para achar as interse\c{c}~oes da reta com o gr’afico de f resolvemos
1x^2 = -2a^3 x + 3a^2
Multiplicando ambos os lados por a^3 x^2 (valores n~ao– nulos), obt’em-se
O polin^omio 2 x^3 - 3 a , x^2 + a^3 tem raiz x = a, pois ali’e vale 2 a^3 - 3 a^3 + a^3 = 0. Fazendo a divis~ao por (x - a) ou fatorando, chega– se a
(x - a) l(2 x^2 - a , x - a^2r) = 0
A segunda fatorac~ao resolve-se por f’ormula de Bhaskara:
2 x^2 - a , x - a^2 = 0 Longrightarrow x = a pm raiza^2 + 8 a^24 = a pm 3 a4,
isto 'e, x = a e x = -tfraca2. A primeira raiz x = a 'e o ponto de tang^encia; a segunda – 'e
x = -a2, y = fl(-tfraca2r) = 1(-a/2)^2 = 4a^2
Passo 6
Como -tfrac a2 e a têm sinais opostos, concluímos que a reta tangente intersecta de novo o gráfico em l(-tfrac a2,tfrac4a^2r), que fica do outro lado do eixo y.
Resposta
(a) f'(a)=-tfrac2a^3.
(b) A reta tangente em l(a,tfrac1a^2r) corta outra vez o gráfico em l(-tfrac a2,tfrac4a^2r), cuja abscissa tem sinal oposto a a.