(a) Prove que se f(x)=1 / x^2, então f^prime(a)=-2 / a^3, para a neq 0.
(b) Prove que a reta tangente a f em ( a, 1 / a^2 ) intersecta o gráfico de f em outro ponto, que se encontra no lado oposto do eixo vertical.

Passo 1

O enunciado trata da função
f(x)=1x^2,, xneq0,
e pede: (a) calcular sua derivada em aneq0 usando a definição de derivada; (b) mostrar que a reta tangente em l(a,tfrac1a^2r) corta de novo o gráfico de f num ponto com abscissa de sinal oposto a a.

Passo 2

Usamos a definição
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a =limxto a1x^2-1a^2x-a
No numerador faça a subtração de frações:
1x^2-1a^2 =a^2-x^2x^2,a^2 =(a-x)(a+x)x^2,a^2
Portanto
f'(a) =limxto a(a-x)(a+x)x^2,a^2,(x-a) =limxto a-(a+x)x^2,a^2 =-2aa^4 =-2a^3

Passo 3

A reta tangente em l(a,tfrac1a^2r) tem coeficiente angular
m = f'(a) = -2a^3,
e passa por l(a,tfrac1a^2r). Sua equa\c{c}~ao ponto– declive 'e
y - 1a^2 = -2a^3 l(x - ar),
isto ‘e, em forma expl’\i c’ita,
y = -2a^3 , x + underbrace2a^2 + 1a^2,3/a^2 = -2a^3 x + 3a^2

Passo 4

Para achar as interse\c{c}~oes da reta com o gr’afico de f resolvemos
1x^2 = -2a^3 x + 3a^2
Multiplicando ambos os lados por a^3 x^2 (valores n~ao– nulos), obt’em-se
a^3 = -2 x^3 + 3 a , x^2 Longrightarrow 2 x^3 - 3 a , x^2 + a^3 = 0

Passo 5

O polin^omio 2 x^3 - 3 a , x^2 + a^3 tem raiz x = a, pois ali’e vale
2 a^3 - 3 a^3 + a^3 = 0. Fazendo a divis~ao por (x - a) ou fatorando, chega– se a
(x - a) l(2 x^2 - a , x - a^2r) = 0
A segunda fatorac~ao resolve-se por f’ormula de Bhaskara:
2 x^2 - a , x - a^2 = 0 Longrightarrow x = a pm raiza^2 + 8 a^24 = a pm 3 a4,
isto 'e, x = a e x = -tfraca2. A primeira raiz x = a 'e o ponto de tang^encia; a segunda – 'e
x = -a2, y = fl(-tfraca2r) = 1(-a/2)^2 = 4a^2

Passo 6

Como -tfrac a2 e a têm sinais opostos, concluímos que a reta tangente intersecta de novo o gráfico em l(-tfrac a2,tfrac4a^2r), que fica do outro lado do eixo y.

Resposta

(a) f'(a)=-tfrac2a^3.
(b) A reta tangente em l(a,tfrac1a^2r) corta outra vez o gráfico em
l(-tfrac a2,tfrac4a^2r), cuja abscissa tem sinal oposto a a.

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