Se Sn(x)=x^n, e 0 <= k <= n, prove que
Sn^(k)(x)=n!(n-k)! x^n-k=k!binomnk x^n-k

Passo 1

O enunciado define
Sn(x)=x^n
e pede a k-ésima derivada Sn^(k)(x) para 0<= k<= n.
O conteúdo é derivação sucessiva de potências e vamos usar indução sobre k.

Passo 2

Verificação da base k=0:
Por definição a derivada de ordem zero é a própria função, logo
Sn^(0)(x)=x^n
No lado direito da fórmula proposta temos
n!(n-0)!x^n-0 =n!n!x^n = x^n,
portanto a fórmula vale para k=0.

Passo 3

Passo de indução. Suponha que para algum k com 0<= k<n já vale
Sn^(k)(x) =n!(n-k)!x^,n-k
Então a derivada de ordem k+1 é
Sn^(k+1)(x) =ddxl(n!(n-k)!x^,n-kr) =n!(n-k)!,(n-k),x^,n-k-1 =n!(n-(k+1))!x^,n-(k+1)
Isso mostra que, se vale para k, vale para k+1. Como já vimos o caso k=0, por indução a fórmula é válida para todo 0<= k<= n.

Passo 4

Mostramos que
n!(n-k)! =k!,(n!)k!,(n-k)! =k!binomnk
Logo a expressão pode ser escrita também como
k!binomnkx^,n-k

Resposta

Sn^(k)(x) =n!(n-k)!x^,n-k = k!binomnkx^,n-k

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