Se
, e
, prove que
Passo 1
O enunciado define
e pede a
-ésima derivada
para
.
O conteúdo é derivação sucessiva de potências e vamos usar indução sobre .
O conteúdo é derivação sucessiva de potências e vamos usar indução sobre
Passo 2
Verificação da base
:
Por definição a derivada de ordem zero é a própria função, logo
Por definição a derivada de ordem zero é a própria função, logo
No lado direito da fórmula proposta temos
portanto a fórmula vale para
.
Passo 3
Passo de indução. Suponha que para algum
com
já vale
Então a derivada de ordem
é
Isso mostra que, se vale para
, vale para
. Como já vimos o caso
, por indução a fórmula é válida para todo
.
Passo 4
Mostramos que
Logo a expressão pode ser escrita também como