Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a função fcolon DsubsetRtoR dada por
y = sin(2x),
esboçar o gráfico, identificar se o domínio é limitado ou ilimitado, encontrar a imagem, verificar se a função é limitada ou ilimitada e dizer se ela é par ou ímpar.

Passo 2

Definimos formalmente
fcolon RtoR, f(x)=sin(2x)
Aqui o domínio é D=R, pois a função seno aceita qualquer real.

Passo 3

O gráfico de y=sin(2x) é uma senóide com amplitude 1 e período
T = 2pi2 = pi
Isso significa que ela repete o padrão de subida e descida a cada intervalo de comprimento pi. Os zeros ocorrem em x=kpi2, máximos em x=pi4+kpi (com valor +1) e mínimos em x=3pi4+kpi (com valor -1).

Passo 4

O domínio é D=R, que se estende sem limites para a direita e para a esquerda. Portanto, o domínio é ilimitado.

Passo 5

A imagem (conjunto de valores assumidos por f) é
Im(f)=[-1,1],
já que o seno oscila sempre entre -1 e 1.

Passo 6

Como a imagem está contida em [-1,1], a função é limitada. Não há valores de x que façam |f(x)| ultrapassar 1.

Passo 7

Para testar paridade, calculamos
f(-x)=sinl(2(-x)r)=sin(-2x)=-sin(2x)=-f(x)
Isso mostra que f é uma função ímpar.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: [-1,1]
Função limitada
Função ímpar

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