Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase. .
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de coeficientes constantes
dotx(t)= 2 & -2[6pt] 8 & 1 x(t),
onde x(t)=(x1(t),x2(t))^T. Precisamos (i) encontrar a solução geral, (ii) classificar o ponto de equilíbrio na origem e (iii) esboçar o retrato de fase.]
Passo 2
Calculemos traço e determinante de A: tr,A=2+1=3, det A=2cdot1-(-2)cdot8=18. A equação característica é
lambda^2 -(tr,A),lambda + det A =lambda^2 -3lambda +18=0
As raízes são
lambda = 32pm i,raiz632
Denotando a=3/2 e b=raiz63/2, temos autovalores complexos conjugados apm ib.
Passo 3
Para lambda=a+ib resolvemos (A-lambda I)v=0. Escolhendo uma escala conveniente, obtém-se
Como Relambda=a=3/2>0 e Imlambdaneq0, o equilíbrio na origem é um foco instável (espiral repulsor).
Passo 5
Para decidir a orientação do giro, avaliamos o campo em pontos simples:
em (1,0) temos dotx=(2,8) (para cima),
em (0,1) temos dotx=(-2,1) (para a esquerda).
Isso mostra uma rotação anti-horária. O retrato de fase é, portanto, um espiral saindo da origem no sentido anti-horário.