Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase.
dotx(t)=[cc2 & -2 8 & 1] x(t).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de coeficientes constantes
dotx(t)= 2 & -2[6pt] 8 & 1 x(t),
onde x(t)=(x1(t),x2(t))^T. Precisamos (i) encontrar a solução geral, (ii) classificar o ponto de equilíbrio na origem e (iii) esboçar o retrato de fase.]

Passo 2

Calculemos traço e determinante de A:
tr,A=2+1=3, det A=2cdot1-(-2)cdot8=18. A equação característica é
lambda^2 -(tr,A),lambda + det A =lambda^2 -3lambda +18=0
As raízes são
lambda = 32pm i,raiz632
Denotando a=3/2 e b=raiz63/2, temos autovalores complexos conjugados apm ib.

Passo 3

Para lambda=a+ib resolvemos (A-lambda I)v=0. Escolhendo uma escala conveniente, obtém-se
v=1 + iraiz63[3pt]16
Separamos em partes real e imaginária:
q=Re v=1[3pt]16, r=Im v=raiz63[3pt]0
A solução real geral do sistema é então
x(t) =e^atl[ C1l(qcos(bt)-rsin(bt)r) +C2l(qsin(bt)+rcos(bt)r) r],
com a=3/2, b=raiz63/2 e constantes C1,C2inR.]

Passo 4

Como Relambda=a=3/2>0 e Imlambdaneq0, o equilíbrio na origem é um foco instável (espiral repulsor).

Passo 5

Para decidir a orientação do giro, avaliamos o campo em pontos simples:
em (1,0) temos dotx=(2,8) (para cima),
em (0,1) temos dotx=(-2,1) (para a esquerda).
Isso mostra uma rotação anti-horária. O retrato de fase é, portanto, um espiral saindo da origem no sentido anti-horário.

Resposta

A solução geral é
x(t) =e^32tl[ C1l(qcosl(tfracraiz632tr)-rsinl(tfracraiz632tr)r) + C2l(qsinl(tfracraiz632tr)+rcosl(tfracraiz632tr)r) r],
com
q=116, r=raiz630,
e C1,C2inR.
O equilíbrio na origem é um foco instável (espiral repulsor) e as trajetórias giram anti-horário, afastando-se do ponto crítico.

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