Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=cos (x-pi4)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
fcolon DsubsetRtoR, y = cos!l(x - tfracpi4r)
O conteúdo é transformação de funções trigonométricas (translação horizontal), análise de domínio, imagem, limites, monotonia e paridade.

Passo 2

Definimos explicitamente
f(x)=cos!l(x-tfracpi4r),
cujo domínio natural é
D=R,
já que o cosseno está definido para todo xinR.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, basta partir do gráfico de y=cos x e deslocá-lo tfracpi4 unidades para a direita.
  • Os pontos de máximo ( y=1) ocorrem em x=tfracpi4+2kpi.
  • Os zeros ocorrem em x=tfracpi4+tfracpi2+kpi.
  • Os mínimos ( y=-1) ocorrem em x=tfracpi4+pi+2kpi.
    O período continua 2pi e a amplitude continua 1.

Passo 4

Como D=R, o domínio é ilimitado (não existe restrição em x).

Passo 5

A imagem de f é o conjunto de valores que cos assume, deslocamento não altera amplitude. Logo
Im(f)=[-1,1]

Passo 6

Como Im(f)=[-1,1], a função é limitada superiormente por 1 e inferiormente por -1; portanto f é limitada.

Passo 7

Para testar paridade, comparamos f(-x) a f(x):
f(-x)=cos!l(-x-tfracpi4r) =cos!l(-,(x+tfracpi4)r) =cos!l(x+tfracpi4r)
Isso não coincide com cos(x-tfracpi4) nem com -cos(x-tfracpi4). Logo f é nem par nem ímpar.

Resposta

Função:
f(x)=cos!l(x-tfracpi4r), D=R
Domínio: ilimitado.
Imagem: [-1,1].
Função limitada.
Não é par nem ímpar.

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