Seja para e seja para . Prove que existe (e encontre uma fórmula para ela), mas que não existe.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que todas as derivadas de ordem até n-1 existem em todo o eixo (inclusive em 0), encontrar uma fórmula para f^(n-1), mas que a n-ésima derivada em 0 não existe. Vamos usar o cálculo de derivadas de maneira piecewise e depois verificar continuidade e existência das derivadas em x=0 via definição limite.
Passo 2
Para x>0 aplicamos a regra do poder successivamente: