Seja f(x)=x^n para x >= 0 e seja f(x)=0 para x <= 0. Prove que f^(n-1) existe (e encontre uma fórmula para ela), mas que f^(n)(0) não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x^n,&x>=0, 0,&x<=0,
e pede para mostrar que todas as derivadas de ordem até n-1 existem em todo o eixo (inclusive em 0), encontrar uma fórmula para f^(n-1), mas que a n-ésima derivada em 0 não existe. Vamos usar o cálculo de derivadas de maneira piecewise e depois verificar continuidade e existência das derivadas em x=0 via definição limite.

Passo 2

Para x>0 aplicamos a regra do poder successivamente:
f(x)=x^n ;Longrightarrow; f^(k)(x)=n(n-1)cdots(n-k+1),x^,n-k (1<= k<= n)
Para x<0, f(x)equiv0 é constante, então
f^(k)(x)=0 para todo k>=1,;x<0

Passo 3

Vamos mostrar que para 1<= k<= n-1 a derivada de ordem k em x=0 existe e vale zero. Usamos a definição
f^(k)(0) =limhto0f^(k-1)(h)-f^(k-1)(0)h
Escolhendo k-1<= n-2, temos para h>0
f^(k-1)(h) =n(n-1)cdots(n-k+2),h^,n-k+1,
e f^(k-1)(0), por hipótese de derivada anterior, é 0. Logo, para hto0^+
f^(k-1)(h)-0h =n(n-1)cdots(n-k+2),h^,n-k ;longrightarrow;0 (pois n-k>=1)
Para h<0, f^(k-1)(h)=0, então
f^(k-1)(h)-0h=0
Como as duas limites laterais são 0, conclui-se que
f^(k)(0)=0 (1<= k<= n-1)

Passo 4

Reunindo:
f^(n-1)(x)= n(n-1)cdots2;x =n!,x,&x>0, 0,&x<=0

Passo 5

Por fim, tente a derivada de ordem n em 0:
f^(n)(0) =limhto0f^(n-1)(h)-f^(n-1)(0)h =limhto0f^(n-1)(h)h
Para h>0, f^(n-1)(h)=n!,h, então
n!,hh=n!
Para h<0, f^(n-1)(h)=0, logo o quociente é 0. Como os limites laterais são diferentes ( n! e 0), a derivada f^(n)(0) não existe.

Resposta

A derivada de ordem
enquanto dão valores diferentes.

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