Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase. . dotx(t)=[cc2 & -2 8 & 1] x(t). dotx(t)=[ll+1 & -1 +1 & +3] x(t).
Passo 1
Temos três sistemas lineares 2times 2 da forma
dotx=Ax,
onde
A1=1&14&-2, A2=2&-28&1, A3=1&-11&3
Para cada caso vamos (i) calcular autovalores via traço e determinante ou polinômio característico, (ii) obter autovetores (e, se necessário, vetor generalizado), (iii) escrever a solução geral, (iv) usar sinais dos autovalores para classificar o ponto de equilíbrio na origem e (v) descrever qualitativamente o retrato de fase.
Passo 2
Sistema : com
Traço e determinante:
Polinômio característico:
Autovetores:
para ,
logo .
para ,
logo .
Solução geral:
Classificação: autovalores reais de sinais opostos sela instável. O retrato tem trajetórias aproximando-se ao longo da direção e afastando-se ao longo de .