Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais lineares; classificar e esboçar os retratos de fase.
dotx(t)=[ll1 & +1 4 & -2] x(t).
dotx(t)=[cc2 & -2 8 & 1] x(t).
dotx(t)=[ll+1 & -1 +1 & +3] x(t).

Passo 1

Temos três sistemas lineares 2times 2 da forma
dotx=Ax,
onde
A1=1&14&-2, A2=2&-28&1, A3=1&-11&3
Para cada caso vamos (i) calcular autovalores via traço e determinante ou polinômio característico, (ii) obter autovetores (e, se necessário, vetor generalizado), (iii) escrever a solução geral, (iv) usar sinais dos autovalores para classificar o ponto de equilíbrio na origem e (v) descrever qualitativamente o retrato de fase.

Passo 2

Sistema : com
Traço e determinante:
Polinômio característico:
Autovetores:
para ,
logo .
para ,
logo .
Solução geral:
Classificação: autovalores reais de sinais opostos sela instável. O retrato tem trajetórias aproximando-se ao longo da direção e afastando-se ao longo de .

Passo 3

Sistema 2: dotx=A2x com
A2=2&-28&1
Traço e determinante:
tr(A2)=2+1=3,det(A2)=2cdot1-(-2)cdot8=18
Polinômio característico:
lambda^2-3lambda+18=0;Longrightarrow;lambda=3pm iraiz632 =32pm i3raiz72
Como a parte real tfrac32>0, temos espiral instável (fonte): solução da forma
x(t)=e^32tl[ Acos!l(tfrac3raiz72tr) +Bsin!l(tfrac3raiz72tr) r],
com constantes vetoriais A,B.
Classificação: foco (espiral) instável. As órbitas giram e se afastam do ponto de equilíbrio.

Passo 4

Sistema : com
Traço e determinante:
Polinômio característico:
Autovetor:
escolhemos . Como há apenas um autovetor, buscamos tal que . Resolvendo
uma solução é .
Solução geral (bloco de Jordan):
Classificação: nó degenerado instável (nó impróprio). As trajetórias saem do ponto de equilíbrio e, para , alinham-se à direção .

Resposta

Sistema 1:
x(t)=C1e^2t11 + C2e^-3t1-4,
sela instável.
Sistema 2:
x(t)=e^32tl[ Acosl(tfrac3raiz72tr) +Bsinl(tfrac3raiz72tr) r],
foco instável (espiral saindo).
Sistema 3:
x(t) =e^2tl[ C11-1 + C2l(t1-1 +0-1r) r],
nó degenerado instável (impróprio).

Exercícios relacionados