Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=tan x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função trigonométrica
y = tan x
e, para ela, definir o domínio DsubsetR, esboçar o gráfico, dizer se o domínio é limitado ou ilimitado, encontrar a imagem, verificar se é função limitada ou ilimitada e checar paridade (par/ímpar). Vamos usar que
tan x = sin xcos x
e lembrar as propriedades de zeros de cos x, periodicidade e simetria de funções trigonométricas.

Passo 2

Para achar o domínio, notamos que tan x só está definida quando cos x neq 0. Portanto
D = xinRmid cos x neq 0 =Rsetminusltfracpi2+kpi;|;kinZr
Como k percorre todos os inteiros, D é formado por infinitos intervalos abertos e não está contido em nenhum segmento finito. Logo, o domínio é ilimitado.

Passo 3

O gráfico de tan x tem período pi e retas verticais assíntotas em
x = pi2 + kpi, kinZ
Em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,;tfracpi2+kpir), a curva cresce de -infty a +infty, passando por (kpi,0). Esse padrão se repete a cada pi.

Passo 4

Em cada ramo, tan x assume valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, de modo que a imagem global é
Im(f)=(-infty,infty)=R
Como a imagem não fica confinada a nenhum intervalo finito, a função é ilimitada (ou seja, não é uma função limitada).

Passo 5

Para a paridade, basta ver que
tan(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-tan x
Logo tan x é função ímpar.

Resposta

Domínio:
D = Rsetminusltfracpi2+kpimid kinZ,
domínio ilimitado.
Imagem: R, função ilimitada (não limitada).
Paridade: ímpar.
Gráfico: ramo de -infty a +infty em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,tfracpi2+kpir) com período pi e assíntotas em x=tfracpi2+kpi.

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