Em cada um dos itens a seguir, defina uma função , com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função trigonométrica
e, para ela, definir o domínio , esboçar o gráfico, dizer se o domínio é limitado ou ilimitado, encontrar a imagem, verificar se é função limitada ou ilimitada e checar paridade (par/ímpar). Vamos usar que
e lembrar as propriedades de zeros de , periodicidade e simetria de funções trigonométricas.
Passo 2
Para achar o domínio, notamos que só está definida quando . Portanto
Como k percorre todos os inteiros, D é formado por infinitos intervalos abertos e não está contido em nenhum segmento finito. Logo, o domínio é ilimitado.
Passo 3
O gráfico de tan x tem período pi e retas verticais assíntotas em
x = pi2 + kpi, kinZ
Em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,;tfracpi2+kpir), a curva cresce de -infty a +infty, passando por (kpi,0). Esse padrão se repete a cada pi.
Passo 4
Em cada ramo, tan x assume valores arbitrariamente grandes e arbitrariamente pequenos, de modo que a imagem global é
Im(f)=(-infty,infty)=R
Como a imagem não fica confinada a nenhum intervalo finito, a função é ilimitada (ou seja, não é uma função limitada).
Passo 5
Para a paridade, basta ver que
tan(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin xcos x=-tan x
Logo tan x é função ímpar.
Resposta
Domínio:
D = Rsetminusltfracpi2+kpimid kinZ,
domínio ilimitado.
Imagem: R, função ilimitada (não limitada).
Paridade: ímpar.
Gráfico: ramo de -infty a +infty em cada intervalo l(-tfracpi2+kpi,tfracpi2+kpir) com período pi e assíntotas em x=tfracpi2+kpi.