Exercício 1: ponto e ponto

Considere os pontos A=(-1,3,2) e B=(2,1,6).
(a) Determine a equação paramétrica da reta over<=ftrightarrowA B.
(b) Calcule o ponto médio do segmento A B.
(c) Calcule dist(A, B).
(d) Determine o ponto simétrico A^prime de A em relação ao ponto B.
(e) Determine o ponto simétrico B^prime de B em relação ao ponto A.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(-1,3,2) e B=(2,1,6) no espaço R^3 e pede:
(a) a equação paramétrica da reta que passa por A e B;
(b) o ponto médio do segmento AB;
(c) a distância entre A e B;
(d) o ponto simétrico de A em relação a B;
(e) o ponto simétrico de B em relação a A.
Vamos usar operações vetoriais básicas: vetor diretor, soma e subtração de pontos, módulo de vetor e fórmula de reflexão X' = 2Y - X.

Passo 2

Para a reta over<=ftrightarrowAB tomamos o vetor diretor
v = AB = B - A = (2 - (-1),,1 - 3,,6 - 2) = (3,,-2,,4)
A equação vetorial é
r(t) = A + t,v = (-1,3,2) + t,(3,-2,4)
Em coordenadas:
x = -1 + 3t, y = 3 - 2t, z = 2 + 4t

Passo 3

O ponto médio M de AB é
M = A + B2 = l(-1+22,,3+12,,2+62r) = l(tfrac12,,2,,4r)

Passo 4

A distância dist(A,B) é o comprimento de AB:
dist(A,B) = |AB| = raiz3^2 + (-2)^2 + 4^2 = raiz9 + 4 + 16 = raiz29

Passo 5

Para refletir A em relação a B e B em relação a A usamos a fórmula
X' = 2Y - X
Assim,
A' = 2B - A = l(2cdot2 - (-1),,2cdot1 - 3,,2cdot6 - 2r) = (5,,-1,,10),
B' = 2A - B = l(2cdot(-1) - 2,,2cdot3 - 1,,2cdot2 - 6r) = (-4,,5,,-2)

Resposta

(a)
(b) .
(d) .
(e) .

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