Questão 4 – Valor 6 pts
Verificar que cada uma das funções dadas y=f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
d yd x+y+2 x+4=x^2 ; y=x^2-4 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função y = x^2 - 4x satisfaz a equação diferencial
dydx + y + 2x + 4 = x^2
Aqui o conteúdo é “verificar solução de ODE”: basta calcular a derivada de y e substituir na equação para checar se o lado esquerdo fica igual ao lado direito.

Passo 2

Vamos achar a derivada de
y = x^2 - 4x
Usando as regras básicas de derivação obtemos
dydx = 2x - 4

Passo 3

Substituímos dydx e y no lado esquerdo da ODE:
dydx + y + 2x + 4 = (2x - 4) + (x^2 - 4x) + 2x + 4

Passo 4

Agora simplificamos os termos semelhantes:
(2x - 4) + (x^2 - 4x) + 2x + 4 = x^2 + (2x - 4x + 2x) + (-4 + 4) = x^2 + 0 + 0 = x^2
Ou seja, o lado esquerdo vira exatamente x^2, que é o lado direito da equação.

Resposta

Como ao substituir obtemos x^2 de ambos os lados, concluímos que y = x^2 - 4x é de fato solução da equação diferencial dada.

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