(a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo cai uma distância s(t) em t segundos, e s^prime é proporcional a s, então s não pode ser uma função da forma s(t)=c t^2.
(b) Prove que os seguintes fatos são verdadeiros se s(t)=(a / 2) t^2 (o primeiro fato mostrará porque mudamos de c para a / 2 ):
(i) s^prime prime(t)=a (a aceleração é constante).
(ii) [s^prime(t)]^2=2 a s(t).
(c) Se s é medido em pés, o valor de a é 32. Quantos segundos você tem para sair do caminho de um lustre que cai de um teto de altura 400 pés? Se você não sair do caminho, quão rápido o lustre estará se movendo quando atingir você? Onde estava o lustre quando estava se movendo com metade da velocidade final?

Passo 1

O enunciado trata de cinemática elementar e equações diferenciais simples. Em (a) queremos ver que a hipótese
s'(t)propto s(t)
não é compatível com s(t)=c,t^2. Em (b) usamos s(t)=tfrac a2,t^2 para mostrar que a aceleração é constante e que vale l[s'(t)r]^2=2,a,s(t). Finalmente, em (c) fixamos a=32 ft/s ^2 e calculamos o tempo de queda de 400 ft, a velocidade ao impacto e a posição em que a velocidade era metade da final.

Passo 2

(a) Se s'(t) é proporcional a s(t), então existe constante k tal que
s'(t)=k,s(t)
Essa é uma EDO linear de coeficiente constante cuja solução geral é
s(t)=C,e^k,t,
não uma função polinomial em t. Assim s(t)=c,t^2 não satisfaz s'=k,s, provando que Galileu estava errado nessa hipótese.

Passo 3

(b)(i) Assumindo
s(t)= a2,t^2,
temos
s'(t)=a,t, s''(t)=ddt(a,t)=a,
logo a aceleração é constante e igual a a.
(b)(ii) Ainda com s'(t)=a,t,
l[s'(t)r]^2=(a,t)^2=a^2,t^2
e como s(t)=tfrac a2,t^2 temos
a^2,t^2=2,a;l(tfrac a2,t^2r)=2,a,s(t)

Passo 4

(c) Agora em unidades de pés e segundos, a=32 ft/s ^2 e s(t)=(16),t^2.
Para atingir s=400 ft, resolvemos
16,t^2=400 Longrightarrow t^2=40016=25 Longrightarrow t=5 s
A velocidade ao impacto é
v=s'(5)=32cdot5=160 ft/s
Para ter metade dessa velocidade, v=tfrac1602=80, resolvemos
32,t=80 Longrightarrow t=8032=2,5 s,
e a posição nessa hora é
s(2,5)=16,(2,5)^2=16cdot6,25=100 ft

Resposta

Tempo de queda: 5 s.
Velocidade ao impacto: 160 ft/s.
Posição em que a velocidade era metade da final: 100 ft.

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