(a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo cai uma distância
em
segundos, e
é proporcional a
, então
não pode ser uma função da forma
.
(b) Prove que os seguintes fatos são verdadeiros se
(o primeiro fato mostrará porque mudamos de
para
):
(i)
(a aceleração é constante).
(ii)
.
(c) Se
é medido em pés, o valor de
é 32. Quantos segundos você tem para sair do caminho de um lustre que cai de um teto de altura 400 pés? Se você não sair do caminho, quão rápido o lustre estará se movendo quando atingir você? Onde estava o lustre quando estava se movendo com metade da velocidade final?
(b) Prove que os seguintes fatos são verdadeiros se
(i)
(ii)
(c) Se
Passo 1
O enunciado trata de cinemática elementar e equações diferenciais simples. Em (a) queremos ver que a hipótese
não é compatível com
. Em (b) usamos
para mostrar que a aceleração é constante e que vale
. Finalmente, em (c) fixamos
ft/s
e calculamos o tempo de queda de 400 ft, a velocidade ao impacto e a posição em que a velocidade era metade da final.
Passo 2
(a) Se
é proporcional a
, então existe constante
tal que
Essa é uma EDO linear de coeficiente constante cuja solução geral é
não uma função polinomial em
. Assim
não satisfaz
, provando que Galileu estava errado nessa hipótese.
Passo 3
(b)(i) Assumindo
temos
logo a aceleração é constante e igual a
.
(b)(ii) Ainda com
,
e como
temos
Passo 4
(c) Agora em unidades de pés e segundos,
ft/s
e
.
Para atingir ft, resolvemos
Para atingir
A velocidade ao impacto é
Para ter metade dessa velocidade,
, resolvemos
e a posição nessa hora é
Resposta
Tempo de queda:
s.
Velocidade ao impacto: ft/s.
Posição em que a velocidade era metade da final: ft.
Velocidade ao impacto:
Posição em que a velocidade era metade da final: