Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=arctan x

Passo 1

O enunciado pede para definirmos a função \r
fcolon DsubsetRtoR, y=f(x)=arctan x, \r
esboçar seu gráfico, e determinar para esta função: \r
  • domínio (limitado ou ilimitado), \r
  • imagem, \r
  • se é limitada ou ilimitada, \r
  • se é par ou ímpar. \r
    Usaremos propriedades conhecidas da função arco-tangente (função trigonométrica inversa).

Passo 2

A função arctan x está definida para todo xinR. \r
Logo \r
Dom(f)=R=(-infty,infty), \r
que é um domínio ilimitado.

Passo 3

Sabemos que \r
limxto-inftyarctan x=-pi2, limxto+inftyarctan x=+pi2 \r
e que estes valores não são atingidos. Portanto a imagem é \r
Im(f)=l(-tfracpi2,,tfracpi2r) \r
Como existe M=tfracpi2 tal que lvert f(x)rvert< M para todo x, f é limitada.

Passo 4

Para a paridade, verificamos \r
arctan(-x)=-arctan xforall xinR \r
Isso mostra que f é uma função ímpar.

Passo 5

Esboço do gráfico de y=arctan x: \r
  • Passa por (0,0). \r
  • É estritamente crescente e contínua em R. \r
  • Possui assíntotas horizontais em y=-tfracpi2 (quando xto-infty) e em y=+tfracpi2 (quando xto+infty).

Resposta

Domínio: R (ilimitado) \r
Imagem: l(-tfracpi2,tfracpi2r) \r
Função limitada \r
Função ímpar

Exercícios relacionados