Em cada um dos itens a seguir, defina uma função
, com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos a função \r
esboçar seu gráfico, e determinar para esta função: \r
- domínio (limitado ou ilimitado), \r
- imagem, \r
- se é limitada ou ilimitada, \r
- se é par ou ímpar. \r
Usaremos propriedades conhecidas da função arco-tangente (função trigonométrica inversa).
Passo 2
A função
está definida para todo
. \r
Logo \r
Logo \r
que é um domínio ilimitado.
Passo 3
Sabemos que \r
e que estes valores não são atingidos. Portanto a imagem é \r
Como existe
tal que
para todo
,
é limitada.
Passo 4
Para a paridade, verificamos \r
Isso mostra que
é uma função ímpar.
Passo 5
Esboço do gráfico de
: \r
- Passa por
. \r - É estritamente crescente e contínua em
. \r - Possui assíntotas horizontais em
(quando ) e em (quando ).
Resposta
Domínio:
(ilimitado) \r
Imagem: \r
Função limitada \r
Função ímpar
Imagem:
Função limitada \r
Função ímpar