Suponha que f(a)=g(a) e que a derivada à esquerda de f em a é igual à derivada à direita de g em a. Defina h(x)=f(x) para x <= a, e h(x)=g(x) para x >= a. Prove que h é diferenciável em a.

Passo 1

O enunciado define duas funções
é diferenciável em (a]. Para isso, vamos lembrar a definição de derivada em termos de limite do quociente de diferença e usar as derivadas laterais.

Passo 2

Definição de derivada. Dizemos que h é diferenciável em a se existir o limite
limxto ah(x)-h(a)x-a
Esse limite existe e é igual a h'(a) exatamente quando as derivadas laterais em a existem e são iguais:
limxto a^-h(x)-h(a)x-a e limxto a^+h(x)-h(a)x-a
existem e coincidem.

Passo 3

Cálculo da derivada lateral pela esquerda. Para x<a temos h(x)=f(x) e h(a)=f(a). Logo,
limxto a^-h(x)-h(a)x-a =limxto a^-f(x)-f(a)x-a ;=;f'-(a)

Passo 4

Cálculo da derivada lateral pela direita. Para x>a temos h(x)=g(x) e h(a)=g(a). Assim,
limxto a^+h(x)-h(a)x-a =limxto a^+g(x)-g(a)x-a ;=;g'+(a)

Passo 5

Conclusão. Pelas hipóteses f(a)=g(a) e f'-(a)=g'+(a). Logo as derivadas laterais de h em a existem e são iguais. Portanto o limite
limxto ah(x)-h(a)x-a
existe e vale esse valor comum.

Resposta

A função h é diferenciável em a e
h'(a)=f'-(a)=g'+(a)

Exercícios relacionados