Suponha que
e que a derivada à esquerda de
em
é igual à derivada à direita de
em
. Defina
para
, e
para
. Prove que
é diferenciável em
.
Passo 1
O enunciado define duas funções
é diferenciável em (a]. Para isso, vamos lembrar a definição de derivada em termos de limite do quociente de diferença e usar as derivadas laterais.
Passo 2
Definição de derivada. Dizemos que
é diferenciável em
se existir o limite
Esse limite existe e é igual a
exatamente quando as derivadas laterais em
existem e são iguais:
existem e coincidem.
Passo 3
Cálculo da derivada lateral pela esquerda. Para
temos
e
. Logo,
Passo 4
Cálculo da derivada lateral pela direita. Para
temos
e
. Assim,
Passo 5
Conclusão. Pelas hipóteses
e
. Logo as derivadas laterais de
em
existem e são iguais. Portanto o limite
existe e vale esse valor comum.
Resposta
A função
é diferenciável em
e