Use a “Regra dos dois caminhos” para mostrar que os limites indicados abaixo não existem
lim (x, y) (0,0) x-yx^2+y

Passo 1

O enunciado pede para investigar
lim(x,y)to(0,0) x-yx^2+y
usando a regra dos dois caminhos. Essa regra diz que, se ao longo de dois caminhos que chegam a (0,0) o valor da função tende a números diferentes, então o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos o caminho y=x. Substituindo em
x-yx^2+y
vemos que
x-xx^2+x=0,
portanto
limxto0x-xx^2+x=0

Passo 3

Agora escolhemos o caminho y=2x. Substituindo em
x-yx^2+y
obtemos
x-2xx^2+2x =-xx(x+2) =-1x+2
Quando xto0, isso tende a
-10+2=-12

Passo 4

Como pelos dois caminhos chegamos a valores diferentes (uma vez 0 e outra vez -tfrac12), concluímos que
lim(x,y)to(0,0)x-yx^2+y
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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