Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=log x^1

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com a função
y = log x^1,
isto é, log x. Vamos definir fcolon DsubsetRtoR por f(x)=log x, esboçar o gráfico, e estudar domínio (limitado ou não), imagem, se f é limitada ou não, e sua paridade (par, ímpar ou nenhuma das duas).

Passo 2

Para definir o domínio D, lembramos que a função logarítmica só está definida quando o argumento for positivo. Aqui o argumento é x^1=x, logo
D = ,xinRmid x>0 = (0,infty)

Passo 3

Esboço do gráfico de y=log x:
  • Há uma assíntota vertical em x=0.
  • Passa por (1,0).
  • É crescente para todo x>0.
  • Tem concavidade voltada para baixo.
Em palavras, para xto0^+ vai a -infty e para xtoinfty vai a +infty.

Passo 4

Analisando o domínio (0,infty):
  • Não é limitado superiormente (vai até +infty).
  • É limitado inferiormente (fica acima de 0), mas como precisa estar limitado em ambas as extremidades para ser domínio limitado, concluímos que
o domínio é ilimitado íé

Passo 5

Analisando a imagem (conjunto de valores assumidos por f):
limxto0^+log x = -infty, limxtoinftylog x = +infty,
portanto
ima>=m = (-infty,infty)

Passo 6

Como a imagem é (-infty,infty), a função não é limitada nem superiormente nem inferiormente. Logo
(f) é ilimitada é

Passo 7

Para verificar paridade, precisaríamos que o domínio fosse simétrico em torno de zero e que log(-x) fizesse sentido, mas log(-x) não está definida em R. Logo
(f) não é par nem ímpar ãéí

Resposta

Domínio: (0,infty), ilimitado.
Imagem: (-infty,infty).
f é ilimitada.
f não é par nem ímpar.

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