Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=2^-x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função exponencial
fcolon DsubsetRtoR, f(x)=2^-x
Vamos esboçar seu gráfico, identificar se o domínio é limitado ou ilimitado, determinar a imagem, ver se a função é limitada ou não e checar se ela é par ou ímpar.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de y=2^-x:
  • Quando x=0, f(0)=2^0=1.
  • Conforme xto+infty, 2^-xto0^+, ficando cada vez mais perto do eixo x (assíntota horizontal y=0).
  • Conforme xto-infty, 2^-x=2^|x|to+infty.
    O gráfico é uma curva decrescente que passa por (0,1), aproxima-se de y=0 à direita e cresce sem limite à esquerda.

Passo 3

O domínio natural de uma exponencial é todo o conjunto dos números reais, ou seja
D=R,
que é ilimitado.

Passo 4

A imagem de f é o conjunto de todos os valores positivos que 2^-x pode assumir, isto é
Im(f)=(0,infty)

Passo 5

Quanto à limitação, f(x)>0 para todo x, logo é limitada inferiormente (pelo zero), mas como f(x)to+infty quando xto-infty, não é limitada superiormente. Portanto, f não é uma função limitada (no sentido de existir M>0 com |f(x)|<= M para todo x).

Passo 6

Para verificar paridade:
f(-x)=2^-(-x)=2^xneq 2^-x=f(x),
e claramente f(-x)neq -f(x). Logo, f não é nem par nem ímpar.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: (0,infty)
Limitação: limitada inferiormente, não limitada superiormente (função não limitada)
Paridade: nem par nem ímpar

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