8^a Questão: Determine a antiderivada abaixo. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
integral(raiz[3]x+1raiz[3]x) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada (primitiva) de
raiz[3]x + 1raiz[3]x
ou seja, calcular
integrall(raiz[3]x + x^-1/3r),dx
Vamos usar a regra de potência para integrais:
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C, nneq -1

Passo 2

Primeiro reescrevemos o integrando em potências de x:
raiz[3]x = x^1/3, 1raiz[3]x = x^-1/3
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integrall(raiz[3]x + x^-1/3r),dx = integral x^1/3,dx ;+;integral x^-1/3,dx

Passo 3

Aplicando a regra de potência em cada termo:
Para integral x^1/3,dx:
integral x^1/3,dx = x^1/3+11/3+1 = x^4/34/3 = 34,x^4/3
Para integral x^-1/3,dx:
integral x^-1/3,dx = x^-1/3+1-1/3+1 = x^2/32/3 = 32,x^2/3

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante C, obtemos a antiderivada geral:
F(x) = 34,x^4/3 ;+; 32,x^2/3 ;+; C

Passo 5

Verificação: derivando F(x),
F'(x) = 34cdot43,x^1/3 ;+;32cdot23,x^-1/3 = x^1/3 + x^-1/3,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

boxedF(x) = 34,x^4/3 + 32,x^2/3 + C

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