Em cada um dos itens a seguir, defina uma função f: D subset R R, y=f(x), com a lei de formação dada, esboce o gráfico da função definida, determine quais tem domínio limitado e quais tem domínio ilimitado, determine a imagem de cada função, determine quais funções são limitadas e quais são ilimitadas, determine quais são pares e quais são ímpares.
y=|x^2-1|

Passo 1

O enunciado pede para a função
fcolon DsubsetRtoR, y=f(x)=lvert x^2-1rvert
esboçar seu gráfico, dizer se o domínio é limitado ou ilimitado, determinar a imagem, verificar se a função é limitada ou ilimitada e decidir se ela é par ou ímpar. Vamos usar conceitos de valor absoluto e análise de paridade.

Passo 2

Como x^2-1 é um polinômio, não há restrição sobre x.
Portanto
D=R,
que é um conjunto ilimitado.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, note que
lvert x^2-1rvert= -(x^2-1)=1-x^2,&se x^2-1<=0iff|x|<=1, x^2-1,&se x^2-1>=0iff|x|>=1
Entre -1 e 1 temos uma parábola invertida de vértice (0,1) que cai até zero em x=pm1. Para |x|>=1, temos a parábola y=x^2-1 que cresce indefinidamente.

Passo 4

O menor valor de f ocorre em x=pm1, onde f(pm1)=0. Não há teto superior, pois para lvert xrverttoinfty, f(x)=x^2-1toinfty.
Logo a imagem é
Im(f)=[0,infty),
e a função é não limitada (ou ilimitada) para cima, mas limitada inferiormente por 0.

Passo 5

Para a paridade, observe
f(-x)=lvert(-x)^2-1rvert=lvert x^2-1rvert=f(x)
Portanto f é uma função par.

Resposta

Domínio: R (ilimitado)
Imagem: [0,infty)
Função não é limitada (vai a +infty)
Função par

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