Em cada um dos itens a seguir, determine a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores dados.
(c1 -2 2),(c2 -2 4),(c-3 3 6)

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço de R^3 gerado pelos vetores
v1=1-22,
v2=2-24 e
v3=-336.
O conteúdo aqui é posto de matrizes (rank) e independência linear.

Passo 2

Para encontrar a dimensão do subespaço gerado, montamos a matriz A cujas linhas são exatamente os vetores v1,v2,v3. Em R^n, a dimensão do espaço gerado por um conjunto de vetores é igual ao posto (número de pivôs) da matriz que tem esses vetores como linhas (ou como colunas).

Passo 3

Aplique eliminação de Gauss em
A = 1 & -2 & 2 2 & -2 & 4 -3 & 3 & 6
Use as operações de linha
R2 R2 - 2 R1
R3 R3 + 3 R1
para obter
1 & -2 & 2 0 & 2 & 0 0 & -3 & 12
Em seguida, faça
R3 R3 + tfrac32 R2
e chega-se a
1 & -2 & 2 0 & 2 & 0 0 & 0 & 12

Passo 4

Na forma triangular acima aparecem três pivôs (nas colunas 1, 2 e 3). Logo rank(A)=3, o que significa que v1,v2,v3 são linearmente independentes e geram todo R^3. Portanto a dimensão do subespaço gerado é 3.

Resposta

A dimensão do subespaço gerado pelos vetores é 3.

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