Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 abaixo são isomorfismos, em caso afirmativo encontre o isomorfismo inverso.
T(x, y, z)=(x+y+z, x-z, x+y);

Passo 1

O enunciado define
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x+y+z,;x-z,;x+y,)
O conteúdo é Álgebra Linear: para ver se T é isomorfismo, montamos a matriz de T na base canônica, calculamos seu determinante e, se for não nulo, achamos a inversa resolvendo o sistema linear.

Passo 2

A matriz de na base canônica é
pois

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det A =1cdotdet0 & -11 & 0 -1cdotdet1 & -11 & 0 +1cdotdet1 & 01 & 1 =1cdot(0cdot0-(-1)cdot1)-1cdot(1cdot0-(-1)cdot1)+1cdot(1cdot1-0cdot1) =1-1+1=1neq0
Como det Aneq0, T é invertível, ou seja, é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar
isto é,
Da segunda equação obtemos (x = v + z]. Substituindo na terceira,

Agora use na primeira:

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Resposta

T é isomorfismo e
T^-1(u,v,w) = l(u+v-w,;2w-v-u,;u-wr)

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