Verifique se os operadores lineares abaixo são isomorfismos, em caso afirmativo encontre o isomorfismo inverso. ;
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo é Álgebra Linear: para ver se é isomorfismo, montamos a matriz de na base canônica, calculamos seu determinante e, se for não nulo, achamos a inversa resolvendo o sistema linear.
Passo 2
A matriz de na base canônica é
pois
Passo 3
Calculamos o determinante de A:
det A =1cdotdet0 & -11 & 0 -1cdotdet1 & -11 & 0 +1cdotdet1 & 01 & 1 =1cdot(0cdot0-(-1)cdot1)-1cdot(1cdot0-(-1)cdot1)+1cdot(1cdot1-0cdot1) =1-1+1=1neq0
Como det Aneq0, T é invertível, ou seja, é um isomorfismo.
Passo 4
Para achar
isto é,
Da segunda equação obtemos (x = v + z]. Substituindo na terceira,
Agora use na primeira:
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